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Given an isoconjugation with pole W = (p : q : r) swapping M and M*, the locus of M such that the trilinear polars of M and M* are parallel is the pivotal isocubic whose pivot is the pole W. It always contains the centroid G and the tangents at A, B, C are the medians. W and W/G (cevian quotient) are two other points of the cubic. See Special Isocubics §1.4.2.

The points at infinity of pK(W,W) are those of pK(G,W') where W' is the isotomic conjugate of W.

The isotomic transform of pK(W,W) is the cubic pK(W',G). See CL048.

The general equation of these cubics is :

The following table gives a selection of pK(W,W).

W

cubic pK(W,W) or X(i) on the cubic

pK(W',G)

X(1)

K101

pK(X75, X2)

X(2)

union of the medians

 

X(4)

K181

pK(X69, X2)

X(6)

K102

pK(X76, X2)

X(12)

X(2), X(10), X(12), X(226), X(3178), X(3963), X(27691), X(56291), X(63885)

pK(X261, X2)

X(34)

X(1), X(2), X(34), X(87), X(278), X(1722)

pK(X3718, X2)

X(56)

X(1), X(2), X(56), X(57), X(87), X(509), X(978), X(1423), X(69891)

pK(X3596, X2)

X(58)

X(1), X(2), X(58), X(81), X(87), X(3216), X(17148), X(27644)

pK(X313, X2)

X(67)

K103, the only circular pK(W,W)

pK(X316, X2)

X(69)

X(2), X(20), X(69)

K663

X(75)

X(2), X(8), X(75), X(85), X(18297), X(31627), X(60853), X(60854), X(63165), X(65082)

K363

X(76)

K184

K002

X(80)

X(2), X(10), X(80), X(519), X(20072), X(24624), X(62441), X(63885)

pK(X320, X2)

X(85)

X(2), X(7), X(75), X(85), X(4146), X(18743), X(27818), X(27828)

K1077

X(94)

K1402

K856

X(213)

X(2), X(6), X(37), X(213), X(3224), X(21779), X(21877), X(60531), X(63886)

pK(X6385, X2)

X(249)

X(2), X(249), X(662), X(2185), X(4564), X(8115), X(8116), X(14570), X(18315), X(39298), X(39299)

pK(X338, X2)

X(250)

X(2), X(250), X(827), X(1113), X(1114), X(39298), X(39299), X(41676)

pK(X339, X2)

X(264)

X(2), X(4), X(76), X(264), X(491), X(492)

K168

X(274)

X(2), X(75), X(85), X(86), X(274), X(333), X(348), X(31623)

K345

X(276)

X(2), X(76), X(95), X(264), X(275), X(276)

K612

X(279)

X(2), X(7), X(279), X(4452), X(5435), X(18886), X(21456), X(27818)

pK(X346, X2)

X(286)

X(2), X(27), X(29), X(75), X(85), X(286), X(3868), X(18147)

pK(X72, X2)

X(290)

K1408

K357

X(292)

K136

K996

X(300)

K342a

K341a

X(301)

K342b

K341b

X(308)

X(2), X(76), X(83), X(264), X(308), X(1799)

K836

X(312)

X(2), X(312), X(329), X(556), X(34404), X(56385), X(56386), X(60853), X(60854)

K965

X(313)

X(2), X(10), X(76), X(264), X(306), X(313), X(1330), X(51857), X(63885)

pK(X58, X2)

X(327)

X(2), X(76), X(262), X(264), X(327), X(1352), X(40804), X(40810), X(42313)

pK(X182, X2)

X(331)

X(2), X(75), X(85), X(92), X(273), X(331)

pK(X219, X2)

X(334)

K868

K251

X(346)

X(2), X(8), X(346), X(30412), X(30413), X(30695), X(63165), X(64083)

pK(X279, X2)

X(349)

X(2), X(76), X(226), X(264), X(307), X(349)

pK(X284, X2)

X(393)

K1046

K1045

X(690)

X(2), X(523), X(524), X(690), X(9293), X(11053), X(39356), X(62440), X(62662)

pK(X892, X2)

X(870)

X(1), X(2), X(75), X(85), X(87), X(870), X(4384), X(8033), X(14621), X(24349), X(30963), X(51314), X(52133), X(63902)

K1038

X(900)

X(2), X(514), X(519), X(900), X(39349), X(42555), X(62441), X(62630)

pK(X4555, X2)

X(903)

X(2), X(519), X(903)

K1148

X(1043)

X(2), X(8), X(78), X(333), X(1043), X(31623), X(45738), X(63165)

pK(X3668, X2)

X(1105)

X(2), X(3), X(4), X(801), X(1105), X(9308), X(34208), X(40800)

pK(X41005, X2)

X(1220)

X(1), X(2), X(10), X(87), X(894), X(1220), X(14534), X(30710), X(63885)

pK(X4357, X2)

X(1221)

X(2), X(37), X(75), X(85), X(1221), X(1909), X(40418), X(63886)

pK(X1107, X2)

X(1222)

X(1), X(2), X(8), X(87), X(1222), X(3729), X(32017), X(40420), X(63165)

pK(X3663, X2)

X(1434)

X(2), X(7), X(57), X(86), X(274), X(1434), X(3875), X(27818), X(41629)

pK(X2321, X2)

X(1494)

X(2), X(30), X(298), X(299), X(1494), X(31621), X(36308), X(36311)

K472

X(1502)

X(2), X(76), X(264), X(305), X(315), X(1502)

K177

X(1826)

X(2), X(4), X(10), X(1826), X(4028), X(4213), X(34208), X(63885)

pK(X17206, X2)

X(1989)

K278

pK(X7799, X2)

X(2052)

X(2), X(92), X(1585), X(1586), X(2052)

K857

X(2207)

X(2), X(6), X(19), X(393), X(1611), X(2207), X(3224), X(46712), X(63899)

pK(X70249, X2)

X(2481)

K1413

K1414

X(2963)

X(2), X(17), X(18), X(590), X(615), X(2963), X(3300), X(3302)

pK(X7769, X2)

X(3114)

K1014

K1012

X(3225)

X(2), X(6), X(385), X(698), X(3224), X(3225), X(63898), X(66842)

pK(X698, X2)

X(3226)

X(1), X(2), X(87), X(239), X(726), X(3226), X(32020), X(40844), X(57535)

pK(X726, X2)

X(3926)

X(2), X(69), X(345), X(348), X(3926), X(6527), X(34403), X(37669)

K879

X(4590)

X(2), X(99), X(4590), X(6189), X(6190), X(14089), X(39298), X(39299), X(46810), X(46813), X(57575), X(57576)

K237

X(6383)

X(2), X(75), X(85), X(6383), X(6384), X(20923), X(21281), X(27424)

pK(X2176, X2)

X(6385)

X(2), X(75), X(85), X(310), X(6385), X(17137), X(18137), X(28660)

pK(X213, X2)

X(6394)

X(2), X(3), X(69), X(287), X(441), X(6393), X(6394), X(34403), X(40800), X(47388), X(57761), X(57799)

pK(X6530, X2)

X(6531)

X(2), X(4), X(6), X(98), X(230), X(419), X(3224), X(6530), X(6531), X(16081), X(34208), X(36897), X(47388)

pK(X6393, X2)

X(6543)

X(2), X(10), X(1213), X(3948), X(6541), X(6543), X(10026), X(11599), X(30586), X(63885)

pK(X70252, X2)

X(6559)

X(2), X(8), X(9), X(3717), X(6559), X(14942), X(28058), X(36796), X(40869), X(62715), X(63165), X(64458)

pK(X62786, X2)

X(8791)

K533

pK(X37804, X2)

X(9154)

X(2), X(98), X(671), X(5967), X(9154), X(10754), X(36897), X(57539), X(60863)

pK(X50567, X2)

X(9180)

X(2), X(523), X(8371), X(9180), X(9293), X(18823), X(44373), X(57561)

pK(X9182, X2)

X(9468)

K787

pK(X14603, X2)

X(9513)

X(2), X(9513), X(13414), X(13415), X(16070), X(16071), X(40804), X(40810)

pK(X44155, X2)

X(11058)

K104, the only equilateral pK(W,W)

pK(X11057, X2)

X(11117)

X(2), X(14), X(532), X(11092), X(11117), X(11119), X(40707), X(53030)

pK(X532, X2)

X(11118)

X(2), X(13), X(533), X(11078), X(11118), X(11120), X(40706), X(53029)

pK(X533, X2)

X(11672)

X(2), X(232), X(511), X(11672), X(36212), X(36213), X(40804), X(40810), X(52009), X(52128), X(66907)

pK(X57541, X2)

X(14970)

X(2), X(83), X(308), X(694), X(732), X(1916), X(9477), X(14970), X(40850), X(63901)

pK(X732, X2)

X(17983)

X(2), X(4), X(468), X(671), X(17983), X(34208), X(47286), X(57539), X(63900)

pK(X6390, X2)

X(18023)

X(2), X(76), X(264), X(316), X(671), X(3266), X(18023), X(30786), X(57539)

K043

X(18025)

X(2), X(8), X(516), X(3912), X(18025), X(52156), X(57548), X(63165)

pK(X516, X2)

X(18082)

X(2), X(10), X(42), X(83), X(308), X(17499), X(18082), X(63885)

pK(X16887, X2)

X(18818)

X(2), X(598), X(671), X(11054), X(18818), X(37765), X(51541), X(52141), X(57539)

pK(X39785, X2)

X(18827)

X(2), X(86), X(274), X(291), X(335), X(740), X(17731), X(18827), X(40874), X(57554), X(63892), X(63896)

pK(X740, X2)

X(18896)

K1023

K252

X(20568)

X(2), X(75), X(85), X(320), X(903), X(4358), X(4997), X(20568), X(54974), X(57788)

K453

X(20569)

X(2), X(75), X(85), X(20569), X(30608), X(30829), X(39704), X(42697)

pK(X45, X2)

X(23357)

X(2), X(110), X(5012), X(23357), X(27867), X(46600), X(46601), X(46726)

pK(X23962, X2)

X(23582)

X(2), X(648), X(2479), X(2480), X(23582), X(39298), X(39299), X(46812), X(46815)

pK(X15526, X2)

X(23618)

X(2), X(7), X(9), X(9312), X(23618), X(27818), X(56026), X(64458)

pK(X41006, X2)

X(31618)

X(2), X(75), X(85), X(344), X(21453), X(31618), X(32008), X(63897)

pK(X1212, X2)

X(31643)

X(2), X(65), X(75), X(85), X(1220), X(7196), X(31643), X(40827), X(64984)

pK(X960, X2)

X(32018)

X(2), X(75), X(85), X(319), X(321), X(1268), X(4102), X(32014), X(32018)

K637

X(32085)

X(2), X(4), X(25), X(83), X(308), X(7754), X(32085), X(34208)

pK(X3933, X2)

X(34386)

X(2), X(69), X(95), X(276), X(394), X(20477), X(34386), X(34403)

K671

X(35140)

X(2), X(69), X(325), X(1503), X(6330), X(9476), X(14944), X(34403), X(35140), X(57549), X(63894)

pK(X1503, X2)

X(35142)

X(2), X(4), X(297), X(3564), X(8781), X(34208), X(35142), X(40428), X(57553), X(70049)

pK(X3564, X2)

X(35145)

X(2), X(333), X(1952), X(8680), X(31623), X(35145), X(40843), X(40882), X(57557)

pK(X8680, X2)

X(39044)

X(2), X(238), X(239), X(350), X(1921), X(17755), X(17793), X(27916), X(39044), X(63890)

pK(X30663, X2)

X(40014)

X(2), X(75), X(85), X(4373), X(6557), X(20942), X(21296), X(40014)

pK(X1743, X2)

X(40023)

X(2), X(75), X(85), X(5936), X(32099), X(40023), X(42034), X(56086)

pK(X1449, X2)

X(40405)

X(2), X(6), X(69), X(1975), X(3224), X(34403), X(40405), X(40413)

pK(X5254, X2)

X(40409)

X(2), X(6), X(86), X(274), X(1258), X(3224), X(33296), X(34020), X(40409), X(40418)

pK(X21024, X2)

X(40447)

X(2), X(92), X(321), X(17776), X(40395), X(40435), X(40447), X(52412)

pK(X18607, X2)

X(40799)

K1179

pK(X40822, X2)

X(40826)

X(2), X(76), X(264), X(598), X(11059), X(11185), X(40826), X(52551), X(64982)

K284

X(40827)

X(2), X(76), X(86), X(264), X(274), X(314), X(1240), X(14534), X(14829), X(30710), X(31643), X(40827), X(57853)

K253

X(40828)

X(2), X(76), X(264), X(3596), X(4417), X(5224), X(34258), X(40828), X(57879), X(58008)

K321

X(40829)

X(2), X(40829)

K485

X(40830)

X(2), X(76), X(264), X(801), X(3926), X(14615), X(40830), X(46927), X(57800)

K924

X(40831)

X(2), X(305), X(40831)

K1162

X(40832)

X(2), X(76), X(264), X(2986), X(3260), X(7799), X(40423), X(40427), X(40832), X(57829)

K489

X(40833)

X(2), X(903), X(17078), X(17079), X(39704), X(40833), X(54974), X(63233)

K1149

X(40834)

X(2), X(86), X(274), X(292), X(334), X(1966), X(36800), X(40415), X(40834), X(63893), X(63895)

K1035

X(40835)

X(2), X(333), X(893), X(1965), X(7018), X(7033), X(31008), X(31623), X(32010), X(40415), X(40835), X(63903)

K1036

X(41174)

X(2), X(76), X(264), X(877), X(39298), X(39299), X(41174), X(55266), X(57991), X(60179)

pK(X41172, X2)

X(55972)

X(2), X(4), X(69), X(1007), X(5921), X(34208), X(34403), X(40803), X(40824), X(43727), X(44144), X(52283), X(55972), X(64983)

pK(X6776, X2)

X(56118)

X(2), X(8), X(200), X(30625), X(31618), X(32008), X(56118), X(63165)

pK(X10481, X2)

X(56179)

X(1), X(2), X(87), X(200), X(25242), X(30701), X(30705), X(56179)

pK(X3673, X2)

X(56186)

X(2), X(37), X(83), X(308), X(321), X(3770), X(56186), X(63886)

pK(X16696, X2)

X(56264)

X(2), X(7), X(8), X(27818), X(29627), X(39749), X(56264), X(56668), X(60720), X(61413), X(63165)

pK(X390, X2)

X(56783)

X(1), X(2), X(7), X(87), X(673), X(1447), X(3008), X(27818), X(34018), X(52209), X(56783), X(62715), X(62786)

pK(X3717, X2)

X(57552)

X(2), X(99), X(671), X(892), X(4590), X(52940), X(57539), X(57552)

pK(X23992, X2)

X(57564)

X(2), X(190), X(903), X(1016), X(4555), X(54974), X(57564), X(62536)

pK(X35092, X2)

X(57570)

X(2), X(648), X(1494), X(16077), X(23582), X(31621), X(42308), X(57570)

pK(X39008, X2)

X(57826)

X(2), X(7), X(5226), X(5936), X(18135), X(27818), X(34284), X(57826), X(62999)

pK(X391, X2)

X(58024)

X(2), X(8), X(76), X(264), X(48878), X(56144), X(58024), X(63165)

pK(X991, X2)

X(59255)

X(2), X(75), X(85), X(2550), X(22116), X(27475), X(30758), X(59255), X(60668)

pK(X1001, X2)

X(63195)

X(2), X(69), X(3618), X(30701), X(30705), X(32830), X(34403), X(63195)

pK(X5286, X2)

X(64985)

X(2), X(69), X(86), X(274), X(1043), X(1257), X(34403), X(40414), X(64985)

pK(X1834, X2)

X(65018)

X(2), X(86), X(274), X(5936), X(10436), X(25430), X(27813), X(65018)

pK(X5257, X2)

X(65025)

X(2), X(86), X(274), X(17394), X(25507), X(27789), X(28650), X(65025)

pK(X70264, X2)

X(65717)

X(2), X(523), X(525), X(542), X(5972), X(9293), X(40804), X(40810), X(60590), X(65717)

pK(X65713, X2)

X(65766)

X(2), X(30), X(523), X(2799), X(9293), X(65766), X(65783), X(66083)

pK(X65768, X2)

X(65822)

X(2), X(8), X(10), X(4416), X(60235), X(63165), X(63885), X(65822)

pK(X3664, X2)

X(68574)

X(1), X(2), X(4), X(87), X(13478), X(16066), X(34208), X(68574)

pK(X51612, X2)

X(68632)

X(2), X(4), X(523), X(9293), X(14223), X(34208), X(65610), X(68632)

pK(X70267, X2)

X(68633)

X(2), X(4), X(92), X(406), X(4385), X(31359), X(34208), X(34258), X(46937), X(68633)

pK(X68653, X2)

X(68634)

X(2), X(4), X(9076), X(10415), X(34208), X(37778), X(46105), X(68634)

pK(X68654, X2)

X(70249)

X(2), X(69), X(304), X(305), X(28419), X(34403), X(52406), X(68355), X(70249)

pK(X2207, X2)

Remarks :

• Any pK(W,W) that passes through a point P also contains Q, the P-isoconjugate of the anticomplement of the isotomic conjugate of P. For example, if P = X(1) then Q = X(87). Generally, if P = u : v : w , then Q = u / (uv + uw - vw) : : .

Furthermore, pK(W,W) passes through P = u : v : w if and only if W lies on the circum-conic C(P) passing through P and its barycentric square P^2. This is the circum-conic with perspector S = u^2(v - w) : : , the intersection of the trilinear polar of P and the polar of P in the Steiner ellipse.

• Two cubics pK(W1,W1) and pK(W2,W2) are anharmonically equivalent if and only if G, W1, W2 are collinear. For instance, pK(W,W) with W on the line GK is equivalent to the Grebe cubic K102.