Given an isoconjugation with pole W = (p : q : r) swapping M and M*, the locus of M such that the trilinear polars of M and M* are parallel is the pivotal isocubic whose pivot is the pole W. It always contains the centroid G and the tangents at A, B, C are the medians. W and W/G (cevian quotient) are two other points of the cubic. See Special Isocubics §1.4.2. The points at infinity of pK(W,W) are those of pK(G,W') where W' is the isotomic conjugate of W. The isotomic transform of pK(W,W) is the cubic pK(W',G). See CL048. The general equation of these cubics is :
 The following table gives a selection of pK(W,W).
 W cubic pK(W,W) or X(i) on the cubic pK(W',G) X(1) K101 pK(X75, X2) X(2) union of the medians X(4) K181 pK(X69, X2) X(6) K102 pK(X76, X2) X(34) X(1), X(2), X(34), X(87), X(278), X(1722) X(56) X(1), X(2), X(56), X(57), X(87), X(509), X(978), X(1423) X(58) X(1), X(2), X(58), X(81), X(87), X(3216), X(17148), X(27644) X(67) K103, the only circular pK(W,W) pK(X316, X2) X(69) X(2), X(20), X(69) K663 X(75) X(2), X(8), X(75), X(85) K363 X(76) K184 K002 X(85) X(2), X(7), X(75), X(85), X(4146), X(18743), X(27818), X(27828) K1077 X(94) X(2), X(94), X(324), X(8836), X(8838), X(11078), X(11092), X(18359), X(30690), X(37779) K856 X(249) X(2), X(249), X(662), X(2185), X(4564), X(8115), X(8116), X(14570), X(18315), X(39298), X(39299) X(264) X(2), X(4), X(76), X(264), X(491), X(492) K168 X(274) X(2), X(75), X(85), X(86), X(274), X(333), X(348), X(31623) K345 X(276) X(2), X(76), X(95), X(264), X(275), X(276) K612 X(279) X(2), X(7), X(279), X(4452), X(5435), X(18886), X(21456), X(27818) X(286) X(2), X(27), X(29), X(75), X(85), X(286), X(3868), X(18147) X(290) X(2), X(76), X(98), X(264), X(287), X(290), X(511), X(3978), X(16089), X(36897) K357 X(292) K136 K996 X(300) K342a K341a X(301) K342b K341b X(308) X(2), X(76), X(83), X(264), X(308), X(1799) K836 X(312) X(2), X(312), X(329), X(556) K965 X(313) X(2), X(10), X(76), X(264), X(306), X(313), X(1330) X(327) X(2), X(76), X(262), X(264), X(327), X(1352), X(40804), X(40810) X(331) X(2), X(75), X(85), X(92), X(273), X(331) X(334) K868 K251 X(349) X(2), X(76), X(226), X(264), X(307), X(349) X(393) K1046 K1045 X(870) X(1), X(2), X(75), X(85), X(87), X(870), X(4384), X(8033), X(14621), X(24349), X(30963) K1038 X(903) X(2), X(519), X(903) K1148 X(1105) X(2), X(3), X(4), X(801), X(1105), X(9308), X(34208), X(40800) X(1220) X(1), X(2), X(10), X(87), X(894), X(1220), X(14534), X(30710) X(1221) X(2), X(37), X(75), X(85), X(1221), X(1909) X(1222) X(1), X(2), X(8), X(87), X(1222), X(3729), X(32017), X(40420) X(1434) X(2), X(7), X(57), X(86), X(274), X(1434), X(3875), X(27818) X(1494) X(2), X(30), X(298), X(299), X(1494), X(31621), X(36308), X(36311) K472 X(1502) X(2), X(76), X(264), X(305), X(315), X(1502) K177 X(1989) K278 pK(X7799, X2) X(2052) X(2), X(92), X(1585), X(1586), X(2052) K857 X(2207) X(2), X(6), X(19), X(393), X(1611), X(2207) X(2481) X(2), X(75), X(85), X(350), X(518), X(673), X(2481), X(14942) X(2963) X(2), X(17), X(18), X(590), X(615), X(2963), X(3300), X(3302) X(3114) K1014 K1012 X(3926) X(2), X(69), X(345), X(348), X(3926), X(6527), X(34403), X(37669) K879 X(4590) X(2), X(99), X(4590), X(6189), X(6190), X(14089), X(39298), X(39299) K237 X(6383) X(2), X(75), X(85), X(6383), X(6384), X(20923), X(21281), X(27424) X(6385) X(2), X(75), X(85), X(310), X(6385), X(17137), X(18137), X(28660) X(6394) X(2), X(3), X(69), X(287), X(441), X(6393), X(6394), X(34403), X(40800) X(6531) X(2), X(4), X(6), X(98), X(230), X(419), X(3224), X(6530), X(6531), X(16081), X(34208), X(36897) X(6543) X(2), X(10), X(1213), X(3948), X(6541), X(6543), X(10026), X(11599), X(30586) X(6559) X(2), X(8), X(9), X(3717), X(6559), X(14942), X(28058), X(36796) X(8791) K533 X(9468) K787 X(9513) X(2), X(9513), X(13414), X(13415), X(16070), X(16071), X(40804), X(40810) X(11058) K104, the only equilateral pK(W,W) pK(X11057, X2) X(11672) X(2), X(232), X(511), X(11672), X(36212), X(36213), X(40804), X(40810) X(14970) X(2), X(83), X(308), X(694), X(732), X(1916), X(9477), X(14970) X(18023) X(2), X(76), X(264), X(316), X(671), X(3266), X(18023), X(30786) K043 X(18827) X(2), X(86), X(274), X(291), X(335), X(740), X(17731), X(18827) X(18896) K1023 K252 X(20568) X(2), X(75), X(85), X(320), X(903), X(4358), X(4997), X(20568) K453 X(32018) X(2), X(75), X(85), X(319), X(321), X(1268), X(4102), X(32014), X(32018) K637 X(32085) X(2), X(4), X(25), X(83), X(308), X(7754), X(32085), X(34208) X(34386) X(2), X(69), X(95), X(276), X(394), X(20477), X(34386), X(34403) K671 X(35140) X(2), X(69), X(325), X(1503), X(6330), X(9476), X(14944), X(34403), X(35140) X(35142) X(2), X(4), X(297), X(3564), X(8781), X(34208), X(35142), X(40428) X(39044) X(2), X(238), X(239), X(350), X(1921), X(17755), X(17793), X(27916), X(39044) X(40014) X(2), X(75), X(85), X(4373), X(6557), X(20942), X(21296), X(40014) X(40405) X(2), X(6), X(69), X(1975), X(3224), X(34403), X(40405), X(40413) X(40409) X(2), X(6), X(86), X(274), X(1258), X(3224), X(33296), X(34020), X(40409), X(40418) X(40799) K1179 X(40826) X(2), X(76), X(264), X(598), X(40826) K284 X(40827) X(2), X(76), X(86), X(264), X(274), X(314), X(1240), X(14534), X(14829), X(30710), X(31643), X(40827) K253 X(40828) X(2), X(76), X(264), X(3596), X(4417), X(5224), X(34258), X(40828) K321 X(40829) X(2), X(40829) K485 X(40830) X(2), X(76), X(264), X(801), X(40830) K924 X(40831) X(2), X(305), X(40831) K1162 X(40832) X(2), X(76), X(264), X(2986), X(40832) K489 X(40833) X(2), X(903), X(40833) K1149 X(40834) X(2), X(86), X(274), X(292), X(334), X(1966), X(40834) K1035 X(40835) X(2), X(333), X(893), X(1965), X(40835) K1036
 Remarks : • Any pK(W,W) that passes through a point P also contains Q, the P-isoconjugate of the anticomplement of the isotomic conjugate of P. For example, if P = X(1) then Q = X(87). Generally, if P = u : v : w , then Q = u / (uv + uw - vw) : : . Furthermore, pK(W,W) passes through P = u : v : w if and only if W lies on the circum-conic C(P) passing through P and its barycentric square P^2. This is the circum-conic with perspector S = u^2(v - w) : : , the intersection of the trilinear polar of P and the polar of P in the Steiner ellipse. • Two cubics pK(W1,W1) and pK(W2,W2) are anharmonically equivalent if and only if G, W1, W2 are collinear. For instance, pK(W,W) with W on the line GK is equivalent to the Grebe cubic K102.